Sabtu, 10 Oktober 2009

Barisan

Barisan adalah urut-urutan bilangan dengan aturan tertentu. Suku-suku suatu barisan adalh nilai-nilai dari suatu fungsi yang daerah definisinya himpunan bilangan asli (n = natural = asli).




Contoh:

  1. Un = 2n - 1
    adalah suku ke-n dari suatu barisan, dimana n
    Î N = {1,2,3,.....}
    Barisan itu adalah : 1,3,5,7,....


  2. Diketahui barisan 1/3 , 1/6 , 1/9
    Rumus suku ke-n barisan ini adalah Un = 1/3n

A. BARISAN ARITMATIKA

U1, U2, U3, .......Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika
U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta

Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1

Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b
U1, U2, U3 ............., Un

Rumus Suku ke-n :

Un = a + (n-1)b = bn + (a-b)
® Fungsi linier dalam n

B. DERET ARITMATIKA

a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.

a = suku awal
b = beda
n = banyak suku
Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-n

Jumlah n suku


Sn = 1/2 n(a+Un)
= 1/2 n[2a+(n-1)b]
= 1/2bn² + (a - 1/2b)n
® Fungsi kuadrat (dalam n)

Keterangan:

1) Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn")

2) Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
Barisan aritmatika akan turun jika b <>

3) Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = Sn' - 1/2 Sn"

4) Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah

Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1) dst.

5) Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt ® Ut = Sn / n

6) Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b

C. C. BARISAN GEOMETRI

U1, U2, U3, ......., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika

U1/U2 = U3/U2 = .... = Un / Un-1 = konstanta

Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)

Rasio r = Un / Un-1

Suku ke-n barisan geometri

a, ar, ar² , .......arn-1
U1, U2, U3,......,Un

Suku ke n Un = arn-1
® fungsi eksponen (dalam n)

D. DERET GEOMETRI

a + ar² + ....... + arn-1
disebut deret geometri
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku

Jumlah n suku

Sn
= a(rn-1)/r-1 , jika r>1
= a(1-rn)/1-r , jika r<1>® Fungsi eksponen (dalam n)

Keterangan:

    1. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
    2. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
      Un > Un-1
    3. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
      Un <>n-1

      Bergantian naik turun, jika r <>
    4. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1
    5. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
      _______ __________
      Ut =
      Ö U1xUn = Ö U2 X Un-1 dst.
    6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar

  1. DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA

    Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari

    U1 + U2 + U3 + ..............................

    ¥
    å
    Un = a + ar + ar² .........................
    n=1

    dimana n
    ® ¥ dan -1 <> sehingga rn ® 0

    Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :

    Jumlah tak berhingga S
    ¥ = a/(1-r)

    Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 <>

    Catatan:

    a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + .................

    Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil

    a+ar2 +ar4+ ....... Sganjil = a / (1-r²)

    Jumlah suku-suku pada kedudukan genap

    a + ar3 + ar5 + ...... Sgenap = ar / 1 -r²

    Didapat hubungan : Sgenap / Sganjil = r

PENGGUNAAN

Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)

M0, M1, M2, ............., Mn

M1 = M0 + P/100 (1) M0 = {1+P/100(1)}M0

M2 = M0 + P/100 (2) M0 = {1+P/100(2)} M0

Mn =M0 + P/100 (n) M0 ® Mn = {1 + P/100 (n) } M0


Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)

M0, M1, M2, .........., Mn

M1 = M0 + P/100 . M0 = (1 + P/100) M0

M2 = (1+P/100) M0 + P/100 (1 + P/100) M0 = (1 + P/100)(1+P/100)M0
= (1 + P/100)² M0

Mn = {1 + P/100}n M0

Keterangan :

M0 = Modal awal
Mn = Modal setelah n periode
p = Persen per periode atau suku bunga
n = Banyaknya periode

Catatan:

Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < >)


0 komentar: