Logaritma

Logaritma

Logaritma bilangan b dengan bilangan pokok a sama dengan c yang memangkatkan a sehingga menjadi b

^a log b = c ® a^c = b ® mencari pangkat

Ket : a = bilangan pokok (a > 0 dan a ¹ 1)
b = numerus (b > 0)
c = hasil logaritma

Dari pengertian logaritma dapat disimpulkan bahwa :

^alog a = 1 ; ^alog 1 = 0 ; ^alog aⁿ = n

SIFAT-SIFAT

1. ^alog bc = ^alogb + ^alogc
2. ^alog bc = c ^alog b
3. ^alog b/c = ^alog b -^alog c ® Hubungan ^alog b/c = - ^a log b/c
4. ^alog b = (^clog b)/(^clog a) ® Hubungan ^alog b = 1 / ^blog a
5. ^alog b. ^blog c = ^a log c
6. a ^alog b = b
7. ^alog b = c ® ^aplog b^p = c ® Hubungan : ^aqlog b^p = ^alog b^p/q
= p/q ^alog b

Keterangan:

1. Bila bilangan pokok suatu logaritma tidak diberikan, maka maksudnya logaritma tersebut berbilangan pokok = 10.
   
   [ log 7 maksudnya ¹⁰log 7 ]
2. logⁿx adalah cara penulisan untuk (logx)ⁿ
   Bedakan dengan log xⁿ = n log x

Contoh:

1. Tentukan batas nilai agar log (5 + 4x - x²) dapat diselesaikan !

syarat :

numerus > 0 x² -4x - 5 <>

Persamaan Logaritma

Adalah persamaan yang didalamnya terdapat logaritma dimana numerus ataupun bilangan pokoknya berbentuk suatu fungsi dalam x.

Masalah : Menghilangkan logaritma

^alog f(x) = ^alog g(x) ® f(x) = g(x)

^alog f(x) = b ® f(x) =ab

^f(x)log a = b ® (f(x))^b = a

Dengan syarat x yang didapat dari persamaan tersebut harus terdefinisi. (Bilangan pokok > 0 ¹ 1 dan numerus > 0 )

Contoh:

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut !

1. ^{xlog 1/100 = -1/8
   x-1/8 = 10-2
   (x -1/8) -8 = (10-2)-8
   x = 10 16}
2. ^{xlog 81 - 2 xlog 27 + xlog 9 + 1/2 xlog 729 = 6
   xlog 34 - 2 xlog33 + xlog² + 1/2 xlog 36 = 6
   4 xlog3 - 6 xlog3 + 2 xlog3 + 3 xlog 3 = 6
   3 xlog 3 = 6
   xlog 3 = 2
   x² = 3 ® x = Ö3 (x>0)}
3. ^{xlog (x+12) - 3 xlog4 + 1 = 0
   xlog(x+12) - xlog 4³ = -1
   xlog ((x+12)/4³) = -1
   (x+12)/4³ = 1/x
   x² + 12x - 64 = 0
   (x + 16)(x - 4) = 0
   x = -16 (TM) ; x = 4}
4. <sup>²log²x - 2 ²logx - 3 = 0
   
   misal : ²log x = p
   
   p² - 2p - 3 = 0
   (p-3)(p+1) = 0
   
   p</sup>₁ ^{= 3
   ²log x = 3
   x}₁ <sup>= 2³ = 8
   
   p</sup>₂ ^{= -1
   ²log x = -1
   x}₂ ^{= 2-1 = 1/2}

Bilangan pokok a > 0 ¹ 1

Tanda pertidaksamaan tetap/berubah tergantung nilai bilangan pokoknya
a > 1	0 < >
a log f(x) > b ® f(x) > ab a log f(x) < > ® f(x) < > (tanda tetap)	a log f(x) > b ® f(x) < >® f(x) > ab (tanda berubah)
syarat f(x) > 0