Sabtu, 10 Oktober 2009

Permutasi dan Kombinasi

PERMUTASI

Misalkan ada 3 unsur a, b, c. Kita dapat mengurutkan sebagai abc, cab, bac, acb, bca, cba. Tiap urutan disebut permutasi 3 unsur.

Dalam contoh diatas ada 6 permutasi terdiri 3 unsur diambil ketiga-tiganya. Ditulis 3P3 = 6


Secara Umum

Banyak permutasi k unsur dari n unsur adalah :

nPk = n! / (n-k) !

Contoh:

Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.

Jawab:

Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.

Maka banyaknya cara duduk ada :

7P3 = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 cara


Permutasi Siklis

Dari n obyek dapat disusun melingkar dalam (n-1) ! cara dengan urutan berlainan.

Contoh:

Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk dengan urutan yang berlainan?

Jawab:

Banyaknya cara duduk ada (7 - 1) ! = 6 ! ® 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 720 cara.

KOMBINASI

Kombinasi k unsur dari n unsur adalah pemilihan k unsur dari n unsur itu tanpa memperhatikun urutannya.

nCk = n! / k!(n-k)!

Ada 6 kombinasi 2 unsur dari 4 unsur a, b, c, d yaitu ab, ac, ad, bc, bd, cd.

Contoh:

Dalam sebuah kantong terdapat 6 bola merah dan 5 putih.
Tentukan banyak cara untuk mengambil 4 bola dari kantong tersebut sehingga
a. Keempat bola tersebut terdiri dari 2 merah dan 2 putih.
b. Keempat bola tersebut warnanya lama.

Jawab:

  1. Untuk mengambil 2 dari 6 bola merah ada 6C2 cara, untuk mengambil 2 dari 5 bola putih ada 5C2 cara.

    Banyak cara untuk mengambil 4 bola terdiri 2 merah 2 putih adalah: 6C2 . 5C2
    ® = 150 cara.
  2. 4 bola warna lama, jadi semua merah atau semua putih.
    Untuk mengambil 4 dari 6 bola merah ada 6C4
    cara. Untuk mengambil 4 dari 5 bola putih ada 5C6 cara. Banyak cara mengambi 14 bola yang warnanya lama: 6C4 + 5C4 =15 + 5 = 20 cara.

Binonium Newton adalah uraian binonium (suku dua) dengan rumus :

(x+y)n = nC0Xn + nC1Xn-1y + ....... + nCnyn

Rumus ini dapat dibuktikan dengan induksi lengkap.

nCo = 1

nC1 = n!/1!(n-1)! = n

nC2 = n! / 2!(n-2)! = n(n-1)/1.2

nCn-1 = nC1 = n/1 = n

nCn = 1


Catatan:

  • banyaknya suku ruas kanan adalah n + 1
  • rumus tersebut dapat juga ditulis sebgai berikut :
    n n
    (x+y)n =
    å nCk xn-k yk = å (n! / k! (n-k)!) xn-k yk
    k=0 k=0
  • Jika n kecil, koefisien binonium dapat dicari dengan segitiga pascal

Lab


0 komentar: